Методика вивчення дій множення і ділення в ШКМ

          Множення. Вже з початкової школи учні знають, що множенням натуральних чисел називають додавання однакових доданків.
На етапі повторення важливо, щоб учні після розв'язування певної кількості прикладів змогли виконати узагальнення і сформулювати означення для двох чисел a і b у вигляді: помножити число a на число b означає знайти суму b доданків, кожний з яких дорівнює a. Доцільно звернути увагу учнів на те, що це означення поширюється лише на випадки натурального числа b, відмінного від 1. За спеціальною домовленістю, а*1 = 1*а = а та а*0 = 0*а = 0.
          У системі вправ варто передбачити як прямі завдання (записати у вигляді добутку суму), так і оберенені (записати у вигляді суми добуток).
          Для закріплення і більшого усвідомлення означення дії множення слушними є такі запитання:
1. Чи будь-яке додавання можна замінити множенням? (Ні. Коли не всі доданки однакові, зробити це неможна.)
2. Чи будь-яке множення можна замінити додаванням? (Ні. Лише таке, коли множник відмінний від 1 і 0.)
          Множення одиниці на натуральне число а (1*а = а) і нуля на число а (0*а) обгрунтовують, виходячи з означення дії множення.
          Під час розв'язування вправ на множення багатоцифрових натуральних чисел стовпчиком варто звернути увагу учнів на таке:

1) В даному прикладі при множенні на 3 записали добуток 981, зсунувши всі цифри на один розряд вліво тому, що множення виконувалось на 3 десятки, а при зсуванні цифри на одне місце вліво її значення збільшується в 10 разів

2) Ми скористалися розподільним законом множення щодо додавання, уявивши собі число 35 у вигляді суми розрядних доданків 30+5. Спочатку помножили число 327 на 5 одиниць, а потім - на 3 десятки, і лише тоді виконали додавання одержаних добутків.

          Слід приділити увагу попередженню помилок, яких частина учнів припускається, множучи на числа, які закінчуються нулями або містять нулі всередині числа.

          Шкільна практика свідчить про те, що в учнів не виникає особливих труднощів стосовно питання про зміну добутку у разі збільшення (зменшення) одного або двох компонентів у кілька разів. Учні самостійно обгрунтовують відповідні висновки для конкретних прикладів. Відомо, що одночасне збільшення одного множника в кілька разів і зменшення другого в стільки ж разів ефективно використовується для усного скороченого множення на 5, 25, 125.

          Перевіряють дію множення множенням шляхом перестановки множників.

          Основні закони множення, як і додавання, треба повторювати, ілюструючи їх застосування для раціоналізації обчислень. Наприклад, переставний закон дає змогу швидше обчислити добуток 42*837*269, якщо переставити співмножники 837*269*42. Переставляючи третій множник з другим, можна обчислити усно добуток: 

25*639*4 = 25*4*639 = 100*639 = 63900.

          Розподільний закон також часто використовується для раціоналізації обчислень. Наприклад, 33*125 = (32+1)*125 = 32*125 + 125 = 32(100+25) + 125 = 4000 + 125 = 4125.

          Ділення. Дія ділення означається аналогічно дії віднімання як дія, оберена множенню: поділити число a на число b означає знайти таке число x, при множенні якого на число b дістанемо число a. Це означення треба закріпити усними вправами типу: поясніть, що означає поділити число 96 на 32. Внаслідок міркувань за означенням учні складають рівність х*32=96.

          Відразу ж можна обгрунтувати рівність 0:а = 0. Вона випливає з рівності 0*а = 0. "Заборона" ділення на нуль приймається за означенням. Проте доцільність прийняття його можна пояснити відповідною рівністю, записаною на основі означення дії ділення. Справді, припустимо, що ми хочемо число 8 поділити на 0. Це означає: треба знайти таке число х, що х*0 = 8. Однак ця ріність не виконується за жодного значення х, бо за будь-якого х, добуток х*0 дорівнює 0 (це також приймається за означенням при введенні дії множення).

          З погляду ідеї дальшого розширення поняття числа корисно звернути увагу на виконуваність дії ділення у множині натуральних чисел. Вона не завжди можлива, як і дія віднімання. Наприклад, число 7 не ділиться без остачі на число 2, бо немає такого натурального числа х, при якому б виконувалась рівність х*2 = 7.

          З усіх чотирьох арифметичних дій найбільша кількість помилок, яких допускає частина учнів, припадає на дію ділення. Правило і сама дія ділення на натуральне число найгірше сприймаються у випадках, коли серед цифр частки є нулі всередині. Треба навчити учнів попередньо ще до виконання ділення визначати кількість цифр у частці.
          Завершити систематизацію відомостей про дію ділення доцільно повторенням типів простих задач, які розв'язуються цією дією. Основні з них:
1) відшукання невідомого множника за відомим добутком і другим множником;
2) задачі на кратне порівняння (у скільки разів одне число/величина більше/менше, ніж друге);
3) ділення на частини;
4) ділення на вміщення коли з'ясовується, скільки разів одна величина вміщується в другій.
          З метою підготовки до вивчення десяткових дробів важливо звернути увагу учнів на залежність результату дії ділення від зміни діленого і дільника, зокрема сформулювати основну властивість частки.

Джерело: Слєпкань З.І. Методика навчання математики: Підручник для студентів математичних спеціальностей педагогічних навчальних закладів.